$125\cdot(25\cdot5^3)^2\cdot11:(10^3\cdot5^9+15\cdot5^{11})=$
$=5^3\cdot(5^2\cdot5^3)^2\cdot11:[(2\cdot5)^3\cdot5^9+(3\cdot5) \cdot5^{11}]=$
$=5^3\cdot(5^5)^2\cdot11:[2^3\cdot 5^3\cdot5^9+3 \cdot5^{12}]=$
$=5^3\cdot5^{10}\cdot11:[2^3\cdot 5^{12}+3 \cdot5^{12}]=$
$=5^{13}\cdot11:[2^3+3]\cdot5^{12}=$
$=5^{13}\cdot11:11\cdot5^{12}=5$
In genere se avete un'espressione e la situazione lo permette è buona regola scrivere i numeri sotto forma di potenza. Molte volte si può evitare l'uso della calcolatrice e il calcolo si può eseguire facilmente:
Esercizio Viene chiesto di calcolare la seguente quantità:
$64\cdot27\cdot125$
Evidente che $64\cdot27\cdot125=2^6\cdot3^3\cdot5^3=2^6\cdot(3\cdot 5)^3=2^6\cdot15^3$, possiamo ancora manipolare l'espressione (osserviamo che le basi sono distinte e gli esponenti sono distinti), però possiamo fare qualcosa tenendo conto che $2^6=(2^2)^3$:
Quindi in sintesi abbiamo:
$64\cdot27\cdot125=(2^2)^3\cdot15^3=4^3\cdot15^3=(4\cdot15)^3=60^3$. Ora a mente si riesce a svolgere $60^3$ perchè $6\cdot6=36$ e $36\cdot 6=216$ e quindi la nostra espressione ha come risultato $60^3=2160$. Vi faccio notare che calcolare a mente e in maniera diretta $64\cdot27\cdot125$ è un'impresa ardua, invece con la giusta accortezza e utilizzando le proprietà delle potenze abbiamo svolto il calcolo con estrema semplicità.
Ovvio che la condizione di poter utilizzare le proprietà delle potenze ci deve essere, non sempre si possono applicare le proprietà delle potenze come possiamo notare nel prossimo esempio:
$74\cdot34$ in questo caso posso scrivere $74\cdot34=(2\cdot37)\cdot(2\cdot17)=2^2\cdot(37\cdot17)$. Come si vede in questo caso si resta bloccati e non si possono utilizzare le proprietà delle potenze, però anche in questo caso forse si possono fare miracoli utilizzando le proprietà delle operazioni:
$74\cdot34=(2\cdot37)\cdot(2\cdot17)=2^2\cdot37\cdot17=4\cdot37\cdot(10+7)=4\cdot[37\cdot10+37\cdot7]=4\cdot[370+259]=4\cdot 629=2516$. Come vedete a mente e senza l'utilizzo della calcolatrice molti calcoli sono possibili (abbiamo applicato la proprietà distributiva di $\cdot$ rispetto a $+$).